Hur kommer det sig att pannkakan får en bubbla just där?
Och de andra mindre bubblorna, varifrån kommer de?
Och sen när man vänder på den ser den ut som ett månlandskap.
Varför ser de ut sådär? Och olika allihopa? Har du sett identiskt lika pannkakor?
Det är olinjär fysik förstås. Kaos-dynamik.
Pannkakor är ett typiskt exempel på matematik och fysik till vardags. Finns överallt.
Matematik och matematik. Nåja. Att räkna och att tänka. Vilket får anses gränsa till matematik.
Tänk dig att du ska köpa godis på fredagen. Fredagsgodis. När du kör hem från stallet, svänger du in på den lokala, gigantiska, godisbutiken. Där finns allt du kan önska. I godisväg. Och lite till.
På en skylt står priset: 7.49 kr/hg. 74.99 kr/kg.
Hur reagerar du då?
1. I den mån du ägnar saken en tanke verkar det rätt och riktigt. Du fokuserar på att få hem bästa möjliga sammansättning för att få fredagskvällen att sluta i mest optimala socker-illamående.
2. Du upprörs över försöket att luras på 9 öre kilot. För man får ju anta att de använder kilopriset i kassan, annars vore de ju rent korkade. Godisaffärsinnehavarna. Antag att du köper sådär 50 kg per år. Till hela familjen. Det är 4.50 kr vi talar om! Antag att de har 50 000 kunder som handlar på det sättet. 225 000 kronor om året i ren lurendrejerivinst!
För att inte tala om de skattemässiga effekterna om råkar meddela priset 7.49 kr/hg till Skattemyndigheten.
NÃ¥?
Alltså. Nästa gång du köper godis, kollar du upp att hekto-priset är korrekt avrundat. Och om det inte är det, ser du till att du får betala det lägre priset. Du köper förslagsvis godiset per hekto och inte per kilo. Är vi överens?
Den gode professorn har ändrat sig. Nu är det inte matematiken som är tokig, utan det mekaniska räknandet, vilket är något helt annat. Om han haft ordning på sig från början hade han inte behövt göra stor sak av en icke-fråga. Men han är ju humanist och man kan inte förvänta sig någon djupare förståelse i frågan. Vi har överseende.
Nu ska vi se vilka praktiska effekter matematiskt tänkande (med vissa inslag av räknande) har i trafiken. Och vilka effekter frånvaro av ett kritiskt och rationellt (dvs matematiskt) tänkande har.
Situation 1
Du kör i godan ro på en 2-1-väg. Massor av trafik, det är fredag eftermiddag. Det är bara att följa trafikens rytm. Då får plötsligt någon längre bak i kön för sig att han ska köra om, för hastigheten är 99 km/h och inte 100 km/h som det står på skyltarna att man ska köra. Han ska visa alla hur det ska gå till. Så han kör om (svarta bilen). Och så kommer han till övergången till en väg. Ojdå, blev det stopp där. Ja, nu får de bromsa för att släppa in mig. Rätt åt dem, för att de kör så sakta.
Och så stoppas hela kön för att en person inte lyckades tänka längre än fem centimeter kring sin egen bil. Om han hade lyckats lära sig åtminstone att räkna hade han kanske klarat av att räkna ut att han skulle tjäna tre millisekunder på manövern och ökat risken för olyckor typ 1000 gånger, eller så, för sig själv också.
Situation två
En parkering vid ett köpcentrum runt jul. Massor av trafik. Många ska ut från parkeringen, många vill in. Någon tycker att han absolut måste in på parkeringen, han har bråttom och ska köpa lampa till svärmor. Så han tränger sig in.
Om han varit lite skolad i matematiskt tänkande. Eller åtminstone kunnat räkna lite på saken hade han insett att det varit bättre att släppa ut bilar innan han körde in på parkeringen. Dels hade det inte blivit kaos, trångt och nästan omöjligt att ta sig fram. För alla. Dels hade han fått en parkering så att han kunde handla den där förbaskade lampan. Antagligen snabbare än när samtliga icke matematiskt skolade hönshjärnor människor på parkeringen ska räkna om hur de ska agera.
Bristen på räkneförmåga leder i detta fall antagligen bara till handgemäng och plåtskador.
Slutsats: Matematiskt (kritiskt och rationellt) tänkande är en absolut nödvändighet för att agera i vardagliga situationer. T ex trafiken. En viss utvecklad räkneförmåga likaså.
Just idag känner jag mig inte alls säker på att alla människor har förmåga att lära sig tänka. Det är väl ett verkligt problem att fundera över. Men det skadar inte att försöka, med matematik, för säkerhets skull.
Antag att man i ett anfall av ostyrbar nyfikenhet får för sig att man ska väga alla godisbitar i sin fredagsgodispåse, för att man t ex har en ny våg, och för att man bara måste få veta. Man väger bitarna och skriver upp resultatet, bit för bit, i en tabell. Och så sitter man där med en massa siffror.
Då tänker man förstås att man skulle vilja veta lite mer om egenskapen hos mängden godis. T ex vill man kanske veta vad medelgodisen väger, och vilken spridning det är på godisarna, dvs vilken standardavvikelse man har i godispåsen. Och den absolut brännande frågan är förstås är godismassor normalfördelade, eller kommer de från någon annan fördelning? Exponential? Weibull? Rektangelfördelning?
Det funderade jag på idag. Att hitta fördelningen för en datamängd. Frågan kom nämligen upp på jobbet. Man kan ju göra en hypotestest och kolla om man har en normalfördelning t ex. Men sådär lite ingenjörsmässigt göra en anpassning, fit, till data. Jag har ingen funktion för det. Hade inte.
Nu använde jag bara godisexemplet för att anknyta till en vardagstillämpning, istället för abstrakta datapunkter från god knows where. En vardagstillämpningar som mina barn väl känner till, eftersom deras fredagsgodis får väga 400 gram, med en avvikelse uppåt på 10 %. Som i ett svagt ögonblick förvandlades till 10% + 6g. Deras fredagsgodis väger alltså 446 gram. Exakt. De vet vad alla godissorter väger. De plockar och anpassar. Vår fredagsgodisshopping är en orgie i matematik, eller snarare i statistik.
Hursomhelst hittade jag funktionen allfitdist på matlab central. Jag testade den på enkelt vis.
for i = 1:1000
E(i) = random(‘exp’,2);
N(i) = random(‘norm’,2,1);
end[DE,PDE]=allfitdist(E,’PDF’);
[DN,PDN]=allfitdist(N,’PDF’);
För exponentialfördelningen, E, fick jag tillbaka förslaget Inverse Gaussian. Inte helt nöjd med det.
För normalfördelningen fick jag förslaget Normalfördelning. Med rätt medelvärde och standardavvikelse. Bra.
I badrumsskåpet hittade jag de sista resterna av ett badskum från Lush. Frågan är nu om jag ska bada skumbad, eller om jag ska undersöka allfitdist lite noggrannare?
Och det får väl illustrera hur matematiken kommer in i vardagen på ett sätt som man knappt lägger märke till.
Varför behöver man göra sit-ups? Eller dra i en skivstång? Eller harva runt i ett motionsspår? Inte tusan springer man omkring 5 km i taget, till vardags, så himla mycket? Inte har man stora behov av att göra sit-ups när man handlar på ICA?
Varken sit-ups eller biceps-curls behöver man använda till vardags. Men av någon anledning verkar ingen ifrågasätta nyttan med konditions- eller styrketräning. Hur kommer det sig då att man ifrågasätter nyttan med matematik?
Svaret är enkelt, det beror naturligtvis på att de flesta inte har en aning om vad matematik är.
Nu ska jag tala om det. För femtio-elfte gången. Lyssna noga, jag börjar lessna. Kanske upprepar jag det inte igen. Och då sitter ni där. Say after me: Matematik är för hjärnan vad fysisk träning är för kroppen. Matematik är ett språk, språk och verktyg för problemlösning och logiskt tänkande. Om man tror att matematikens uppgift är att räkna ut summan av alla öl man handlat på systembolaget. Då tror man fel.
Man skulle kunna säga såhär, att om människor kunde matematik skulle Vattenfall inte ha köpt Nuon. Vårdcentraler skulle inte säljas till underpris, direktörer skulle inte ha fantasifulla bonusar och medicinerat hästkött skulle inte förekomma som nötkött. Näthat skulle icke existera. Folk skulle inte bli lurade av sms-lån, eller vad mobiloperatörerna hittar på i avgifter. Och vi skulle varken ha FRA eller IPRED. PR-människor och reklamfolk skulle inte ha lika lätt att lura och manipulera människor.
Varför inte det då? Jo, eftersom förmågan till rationellt tänkande, förmågan att se sammanhang, förmågan att förstå orsak och konsekvens, rim och reson, att tänka till, skulle vara utbredd och väl utvecklad om folk bara ville lära sig den minsta, yttepyttelilla matematik. Jag lovar, vi behöver inte ens hålla på med matrisalgebra eller partiella differentialekvationer. Bara grundläggande problemlösning.
Men, nu vill de flesta tydligen inte lära sig tänka. Och då blir det som det blir. Man undrar vem som betalar de som sprider tankarna om att matematik inte behövs? Det finns ju faktiskt en del att tjäna på att människor tänker som Nalle Puh.
Drömmen om big data. Att bara samla in data och se mönster. Utan att störa ”systemet” med riktade experiment. De stora datamängderna som gömmer sÃ¥ mycket information, som vi kan förädla till kunskap. Bara vi kan hitta den. Men vad händer om vi inte tolkar data rätt?
Läs den här artikeln om Big Data, eller snarare brus. Och sen den här artikeln om forskning vars resultat inte går att återupprepa.
Sen kan vi fundera lite över notiser som ramlar över oss dagligen om samband mellan, och jag säger samband (dvs korrelation, som inte är samma sak som orsak och verkan, kausalitet), t ex sex och hjärtproblem.
Ja, om det inte är helt tydligt och klart, är det här matematiken behövs. Metoderna att navigera rätt i de enorma mängderna data. Att hitta informationen som ger ökad kunskap om systemet, och inte bara om datamängden.
”Big data can tell us what’s wrong, not what’s right.” säger Nassim Taleb, vilket fÃ¥r mig att fundera pÃ¥ om det inte är Popper som ska dammas av ordentligt inom vetenskapsteorin. Ett tag i alla fall.
Som UV-lampan för att härda gel-nagellack, som jag fick i julklapp. Eller en artikel som är ett förarbete till Nyquist-teoremet. Doktor T har verkligen känsla för vad jag uppskattar.
Men alltså, har någon undersökt sambandet mellan elevernas matematikkunskaper och matematiklärarnas status och löner? Jaså inte. Gör då det.
Det spelar ingen roll hur många fler mattetimmar, eller hur många fler mattetal eleverna måste traggla sig igenom, när lärarna knappt vet vad de pratar om. När lärarna själva tycker matematik är svårt och läskigt, när de inte har någon utbildning i matematik. Gäller främst första åren i skolan. Ska barnen kompensera lärarnas brister?
Matematik har olika sidor. Det är olika som tillämpningsämne och som läroämne t ex. Det vet alla som har barn i skolan, och själva jobbar med tillämpad matematik. Som jag t ex. Som gÃ¥r bet pÃ¥ att förklara den allra enklaste matematiken för mina barn ibland. Att förklara hur man tänker, när man själv bara ”ser”. Hopplöst. När det ser man väl-pedagogiken inte fungerar alls. Alla ser och tänker pÃ¥ olika sätt.
Pedagogik är lärarnas grej. Ämneskunskaper goes without saying.
Antag att du står där och ska välja utbildning och framtida yrke, där när du är runt 20 eller så. Du gillar matematik.
Man skulle ju kunna bli mattelärare. Eller ingenjör. Tänker du. Sen tänker du vidare. Lärare har taskiga löner. Ingenjörer har bättre löner.
Såvida du inte brinner för pedagogik, till den milda grad att lönen känns som trams i sammanhanget, är väl valet ganska enkelt. Om du nu överhuvudtaget skulle kunna tänka dig läraryrket, alltså. För oss som tycker andra människor till stor del är en störning i tankeprocesserna lämpar sig ingenjörsyrket alldeles utmärkt.
Lösningen, för att återgå till lärarproblemet, är alltså i vanlig ordning mycket enkel.
Se till att matematiklärarna är skolans stjärnor, The A-team. Börja med att erbjuda skyhöga löner. Då kommer kvalitén på lärarutbildningen att höjas utan kostnad. Mer matematik kan sköljas ner helt automatiskt. När de här lärarna jobbat i några år, kommer de att börja driva och utveckla verksamheten i skolorna. Helt automatiskt. Busenkelt.
Jag fattar inte varför man gör en massa, märkliga, konstlade satsningar, istället för det helt uppenbara. Förstår de inte matematiken?
Det finns bara ett sätt. Att göra skolan till något att föredra. Framför datorspel, sociala medier och alltför många fritidsaktiviteter. Eller i alla fall till en av sakerna att föredra.
Betyg i trean. Ja, hm. Jag fick betyg i trean. Jag hade absolut ingen aning om hur jag låg till i något ämne alls. Min fröken sa att jag var bra på matte. Men jag borde prata mer. Båda uttalandena förföljde mig hela skoltiden. Kanske blev det självuppfyllande. Jag fortsatte att vara bra på matte, och jag fortsatte att inte prata så mycket.
Jag undrar hur det hade blivit, om det haft nÃ¥gon betydelse, om jag fÃ¥tt nÃ¥got annat omdöme? Om jag inte fÃ¥tt det där utstickande betyget i matematik. Det visar sig ju trots allt ganska praktiskt att vara bra pÃ¥ sÃ¥’nt som har med matematik att göra. Och prata behöver man ju inte göra sÃ¥ mycket. Man kan ju skriva.
När jag kom hem från skolan, då på sjuttiotalet och åttiotalet, var jag uttråkad, vad skulle man göra? Det mest stimulerande man kunde göra var att läsa. Där fanns de där andra världarna. Bläddra sida upp och sida ner i uppslagsböcker. Läsa varenda ord som fanns. Tänka.
Att skaffa kunskap blev som enda alternativet till att tråkas ihjäl. Man kan förmoda att det är samma sak nu. De, barnen, ungdomarna, vill göra, drivs till att göra, det som är mest stimulerande. Vilket oftast inte är att lösa ekvationer för att allt annat är så förbaskat tråkigt. Eller skriva en recension av en bok de inte ville läsa, för att det är så roligt jämfört med något annat som finns att göra.
Lösningen är alltså lika enkel som den kommer att vara effektiv.
Förbjud alla datorspel, alla smartphones, surfplattor, sociala medier. Så kommer barnen/ungdomarna av ren tristess att dras till matematik och läsning.
Eller kanske vi får försöka se på kunskap på något annat sätt. Även om det tar emot också för mig, när folk inte förstår skönheten i en matematisk härledning, eller tillfredsställelsen i att behärska och förstå de där ekvationerna som ligger bakom pälsrörelserna på monstrena i Monsters Inc. T ex.
Läs det här.
Det finns mycket som inte är känt. Men det som är känt bör man ju i alla fall använda sig av.
Och om man blundar för fakta, varför gör man det? Den allra enklaste förklaringen är förstås att man inte förstår. Och det är klart att det kan vara lite komplicerat med matematik och fysik och så. Förstås.
Men då finns det hjälp. Vi läser igen. Och igen. Och tänker litegrann. Så ordnar det sig nog.
Då och då inträffar det oväntade. Man blir slagen. Det börjar pirra lite i kroppen. Det är en känsla som är besläktad med den att vara förälskad. Det är förväntan.
När jag slår mig ner vid skrivbordet på kontoret på morgonen är min första vilja, oftast, att vittja nattens beräkningar. De studier och analyser jag jobbar med har ofta sin grund i ett antal beräkningar. Det är stora, komplexa modeller, vilket betyder att beräkningarna tar tid, från ett halvt dygn till en vecka. Så jag har alltid beräkningsfall igång för att inte förlora tid. På morgonen kollar jag resultatet på det som gått klart över natten.
Och ibland blir man slagen med häpnad och får se något man aldrig sett förut.
Det jobbiga är förstås att jag inte på något sätt kan förklara det exalterande, spännande och helt intrikata med det här. Utan att förklara 20 års arbete först. Vilket, lugn, jag inte har för avsikt att göra.
Men om det pirrar i dig också ibland, vet du vad jag menar.
För ett antal år sen förklarade jag både mannen och sanningen om dinosauriernas storlek.
Nu såg jag i statistiken att ca 4 % av mina läsare faktiskt funderar över en människas area. I frågan om det är bättre för en dinosaurie att vara skapt som en köttbulle gjorde jag en människoyt-analys i en bisats. Den analysen utnyttjade cylinderapproximationen. Och så kan man ju göra.
Men man skulle ocksÃ¥ kunna göra pÃ¥ följande vis …
Man tar och flår skinnet av den person vars yta man vill mäta. Och så spänner man upp skinnet på ett papper, t ex, som man vet storleken på. Och sen kastar man pil. Många pilar. Och sen räknar man hur stor andel av pilarna som hamnar på skinnet, och hur stor andel som hamnat på pappret utanför. Och voilá så vet man arean!
Det kan ju vara praktiskt att veta arean om man t ex vill räkna på värmeförluster. Eller om man tänkte sig en helkroppstatuering, så man vet hur mycket färg som går åt. Eller som skulle ha gått åt.
Det är kanske det som fÃ¥r mig pÃ¥ dÃ¥ligt humör, sÃ¥ fort nÃ¥gon kvittrar om hur de vill införa sociala medier. Även om jag bara rÃ¥kar läsa det, snubbla över det. Helt ofrivilligt. MÃ¥ste nog skaffa ett filter. Och det inte alls har med mitt jobb att göra. Än. Just nu. Det finns säkert nÃ¥gon översocial tÃ¥rtätare, hemska tanke, som skulle älska att alla satt och frotterade sig och twittrade sina kunskaper hela dagarna. Hur fan man nu gör det, kan man skriva ekvationer i twitter? Twitterflöden är säkert mätbara. Man kan nog göra nyckeltal av dem. Undrar vem som ska utföra arbete om alla ska twittra? Nej, usch, det var ett skräck-scenario bara, nu ska jag ta mig samman. SÃ¥ blir det inte. SÃ¥ blir det inte …
Men jag kan inte låta bli att känna iskalla vindar av vilja lägga sig i. Jag avskyr när folk lägger sig i.
Nu är det iofs ingen som gjort det. Lagt sig i mitt arbete. Antagligen ingen som vågar. Och det är bra tänkt.
Jag gör mitt bästa för att hålla borta världens brus. Sådant som stör mina viktiga tankgegångar. Som stör processerna. Jag löser förtusan svåra problem här. Fast nu har jag skrivbordslunch.
För att hÃ¥lla ute världens brus, för att fokusera pÃ¥ arbete, lyssnar jag pÃ¥ musik. Jag är inte vidare förtjust i musik, men det funkar bra som brusmatta. Om man kör samma musik hela tiden lyssnar man inte pÃ¥ den. SÃ¥’n musik man hört sen Ã¥ttiotalet. Funkar nästan alltid jättebra.
Förutom när slingan kommer till Vill ha dig med Freestyle, som fanns med på den där 80-talssamlingen jag skaffade just i brusmattesyfte. Det är väldigt sällan den passar till numerisk lösning av partiella differentialekvationer.
Idag hade jag en deadline. Inte superskarp kanske, men jag hade lovat att ha en text klar till klockan två. När mina amerikanska kollegor, i alla fall de på östkusten, startade dagen på kontoret. Och det man lovar vill man hålla. Jag hade bestämt att från klockan elva skulle jag vara tvungen att fokusera på texten för att få den klar. Det var sista iterationen, jag har hållit på några dagar från och till. Det är en text som beskriver en teknisk lösning som vi jobbar på.
Klockan elva släppte jag fokus på de analyser jag höll på med, och började skriva det sista.
Tjugo över elva fick jag för mig att jag skulle kolla om 1713 är ett primtal. Jag fick en rent oändlig lust. Så jag googlade. Hittade snabbt en tabell. 1713 är inget primtal. Då undrar man förstås vilka tal det egentligen är delbart med. Eller hur? Man måste få veta.
Matlab har en funktion, isprime(X), för att kolla om ett tal är ett primtal. Men man får bara svar True eller False (1 eller 0). Men jag ville veta faktorerna i talet. Jag tänkte att jag skriver en liten snutt i matlab som kollar det där. Så det gjorde jag. Den här snutten:
function J = isprime(P);
%
% find out if P is a prime number
% J = isprime(P)
%
K = zeros(1,P);
for i = 1:P
if rem(P,i) ~0;
K(i) = 1;
end
end
I = find(K==0);
if length(I)>2
J = I(2:length(I)-1);
else
disp([num2str(P) ' is a prime'])
J = 0;
return
end
1713 är delbart med 3 och 571.
Jag hann klart med min text i tid.
Förutom den pedagogiska visdom som jag presenterade igår, som mina barn i ungdomligt oförstånd just nu förkastar, Man får göra vad man vill bara man gör samma sak på båda sidor om likhetstecknet, finns det ytterligare en som jag brukar luta mig emot: Det man inte har men vill ha får man skaffa sig.
Det betyder att om man gärna skulle vilja att det stod t ex a*sin(alfa*t) på en sida i ekvationen, för att det skulle göra livet extremt mycket enklare att leva, så skriver man dit det, med samtidig tillämpning av den första visdomen förstås. Annars blir det inte bra alls. Jag har försökt förmedla den andra visdomen också också till mina barn, men de har uppträtt helt likgiltigt inför denna gåva. Nåja, de tar nog sitt förnuft tillfånga tids nog.
Man använder förstås dessa viktiga visdomar för att förenkla sitt matematiska liv. Men, man inser också att de faktiskt kan generaliseras till allt annat i livet också. De kan rentav upphöjas till livsvisdomar!
Innebörden blir alltså att sålänge man inte stör balansen i systemet kan man skaffa sig precis det man vill ha.
Sådärja, då inser alla att matematik är vardagsbra och jättepraktiskt.
Det är klart det finns andra anledningar också, t ex blygsam lön och obehagligt ofria arbetstider. Men den huvudsakliga anledningen är att jag lider av pedagogisk dysfunktionalitet. Ja, jag lider inte så mycket. Faktiskt lider jag inte alls. Men jag har noterat att omgivningen, främst mina rara barn, ibland uppvisar i alla fall små fläktar av lidande.
Som häromdagen, jag skulle förklara för sonen hur en ekvation skulle lösas. Den var enkel: 6x=30. Han tyckte också det var enkelt, han sa att det blev 5. Vilket han ju hade rätt i. Men jag övermannades av någon ambition att liksom förklara lite mer, varför det blev 5. Visa alla stegen. Jag har hört att man ska göra så. Nämligen.
Så jag drog glatt igång ett av mina pedagogiska mantran som lyder ungefär Man får göra vad man vill, bara man gör samma sak på båda sidor om likhetstecknet. Sonen såg mycket frågande ut. Han undrade varför jag sa det, när problemet redan var löst. Men jag skulle ju förklara mer generellt, tänkte jag, hur man kan tänka och gå tillväga i mer komplicerade fall. Så att ekvationslösningsproblematiken är avklarad och förklarad för all framtid.
Tyvärr tog min pedagogiska förmåga slut ungefär där, med det mantrat. På frågan hur det kommer sig att man får göra samma sak på båda sidor om likhetstecknet hade jag inget annat svar än Jamen, det ser du väl. Det funkade inte som pedagogisk metod den här gången heller. Jag gav upp. Jag får nöja mig med mitt ingenjörsjobb, där det duger fint att se hur saker och ting ska lösas, utan krav på att tala om varför man kom att tänka på just det.
Sonen tycker att jag är allt annat förutom pedagogisk. Allt annat får också duga.
Lille Son går i tredje klass och är en ambitiös elev. Tyvärr tycker han matten är tråkig, eftersom den är enformig och alltför lätt. Varje vecka skriver de räknesagor som läxa. De får ett uttryck, t ex 130+72 = 202, som de ska skriva som en saga. Lille Son tycker det är meningslöst (jag kan inte säga att jag inte förstår honom). Men vi har kommit fram till att tråkiga saker ser man till att göra snabbt, så blir man av med dem och kan ägna sig åt det som är roligt. Lille Son har både anammat och systematiserat det synsättet. När jag tittade igenom hans räknesagebok visade det sig att alla hans räknesagor handlar om köttbullar.
Det var en gång 130 köttbullar som var ute och gick. Då träffade de 72 andra köttbullar och så promenerade 202 köttbullar vidare.
Sara stekte 50 köttbullar. Då kom Erik och åt upp 7 köttbullar, så det fanns bara 43 köttbullar kvar.
175 köttbullar var ute och körde bil. De körde över 17 köttbullar. Det fanns 158 levande köttbullar kvar.
Rationellt.
